题4.1~4.10为填充题，题目要求是从供选择的答案中选出应填入叙述中的□内的正确答案。
4.1 （1）设 是 上的二元关系，且 ，如果 ，则A，如是要R是数的小于等于关系，则B，如果 ，则C。
（2）设有序对 与有序对 相等，则 D， E。
供选择的答案
A，B，C：
① 可任意选择1或2；② ；③ 或2， ；④ ；⑤ 或 ；⑥ ；⑦ 。
D，E：
⑧3；⑨2；⑩ 。
4.2 设 ， 为 上的关系，其关系矩阵是：
，
则（1） 的关系表达式是A。
（2） B， C。
（3） 中的D个有序对。
（4） 的关系图中有E个环。
供选择的答案
A：
① ；
② 。
B，C：
③ ；④ ；⑤ ；⑥
D，E：
⑦1；⑧3；⑨6；⑩7。
4.3 设R是由方程 定义的正整数集 上的关系，即：
，
则（1）R中有A个有序对。
（2）domR=B
（3） =C
（4） 在R下的像是D。
（5） 的集合表达式是E。
供选择的答案
A：
①2；②3；③4。
B，C，D，E：
④ ；⑤ ；⑥ ；
⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩3。
4.4 设 ，图4.1给出了 上的5个关系，则它们只具有以下性质：
是A， 是B， 是C， 是D， 是E。
供选择的答案
A，B，C，D，E：
①自反的，对称的，传递的；
②反自反的，反对称的；
③反自反的，反对称的，传递的；
④自反的；
⑤反对称的、传递的；
⑥什么性质也没有；
⑦对称的；
⑧反对称的；
⑨反自反的，对称的；
⑩自反的，对称的，反对称的，传递的。
4.5 设 是 的3个划分。
，
为素数集， 。
，
则（1）3个划分中划分块最多的是A，最少的是B。
（2）划分 对应的是 上的C， 对应的是 上的D， 对应的是 上的E。
供选择的答案
A，B：
① ；② ；③ 。
B，C，D，E：
④整除关系；；⑤全域关系；⑥包含关系 ；
⑦小于等于关系；⑧恒等关系 ；
⑨含有两个等价类的等价关系；⑩以上关系都不是。
4.6 设 ， 是S上的整除关系，则 的哈斯图是A，其中最大的元是B，最小元是C，最小上界是D，最大下界是E。
供选择的答案
A：
①一棵树；②一条链；③以上都不对。
B，C，D，E：
④ ；⑤1；⑥10；⑦6，7，8，9，10；⑧6；⑨0；⑩不存在。
4.7 设 为自然数集，且
则 A， B， C， D， E。
供选择的答案
A，B，C，D，E：
①无意义；②1；③ ；④0；⑤ ；⑥ ；
⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩ 。
4.8 设 分别表示实数、整数和自然数集，下面定义函数 ，试确定它们的性质。
，
，
除以3的余数，
。
则 是A， 是B， 是C， 是D， E。
供选择的答案
A，B，C，D：
①满射不单射；②单射不满射；③双射；④不单射也不满射；
⑤以上性质都不对；
E：
⑥6；⑦5；⑧ ；⑨ ；
⑩以上答案都不对。
4.9 设
则 是
供选择的答案
A，B：
① ②
③ ④
C：
⑤单射不满射；⑥满射不单射；⑦不单射也不满射；⑧双射
D，E：
⑨不是反函数；⑩是反函数
4.10 （1）设 ，则集合 的特征函数是A，属于 的函数是B。
（2）在S上定义等价关系 ，那么该等价关系对应的划分中有C个划分块。作自然映射 ，那么 是表达式是D， 。
供选择的答案
A，B，D：
① ②
③ ④
⑤
⑥1；⑦2；⑧3.
E：
⑨ ；⑩
4.11 设 ，下面各式定义的R都是S上的关系，分别列出R的元素。
（1）
（2）
（3）
（4）
4.12 设 定义S上的关系。
R具有哪些性质？
4.13
求
4.14 设R的关系如图4.2所示，试给出 的关系图。
4.15 对任意非空集合 中S的非空子集族，那么 能否构成S的划分？
4.16 画出下列集合关于整除关系的哈斯图。
（1）
（2）
并指出它的极小元，最小元，极大元，最大元。
4.17 在下列的关系中哪些能构成函数？
4.18 设R是S上的等价关系，在什么条件下自然映射 是双射的？
4.19 设 ，且有
求 和
4.20 设 求 的函数。
4.21 设 为自然数集，且
（1）求 并讨论它的性质（是否为单射或满射）
（2）设 求
4.22 设
（1）求 和
（2）构造一个从 到 的双射函数。
4.23 对下面给定的集合A和B，构造从A到B的双射函数。
（1）
（2） 都是实数区间。
4.24 设 由 导出的A上的等价关系定义如下：
已知 ，且
令 为 导出的等价关系，求商集 ，其中 。
4.25 对下述函数 及集合 计算 和 ，并说明 是否单射或满射。
（1） ，
